已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,ak3,…,akn,…恰为等比数列,

题目

已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,ak3,…,akn,…恰为等比数列,
其中k1=1,k2=5,k3=17
1)求kn;
2)求数列{kn}的前n项和Tn.

答案

1)由已知得(a5)^2=a1(a17)得(a1+4d)^2=a1(a1+16d)化简得a1=2d
所以a1=2d,a5=6d,a17=18d,这个等比数列公比为3
所以akn=2d·3^(n-1)而akn是等差数列的第kn项,所以得
2d·3^(n-1)=2d+(kn-1)d得kn=2·3^(n-1)-1
2)Tn=2·3^0-1+2·3^1-1+2·3^2-1+……+2·3^(n-1)-1
=2·3^0+2·3^1+2·3^2+……+2·3^(n-1)-n
3Tn=2·3^1+2·3^2+2·3^3+……+2·3^(n-1)+2·3^n-3n
两式相减得2Tn=2·3^n-2n-2
故得Tn=3^n-n-1