已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F, 求证:EF=FD.

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F, 求证:EF=FD.

题目
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F,
求证:EF=FD.
答案
证明:过E作EG丄AB于G,如图,
∵△ABE为等边三角形,
∴BG=
1
2
AB,∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,AE=AB,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∴BC=
1
2
AB,
∴AG=BC,
在Rt△EAG和Rt△ABC中
AE=AB
AG=BC

∴Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),
∴EG=AC,
∵△DAC为等边三角形,
∴AC=AD,∠DAC=60°,
∴EG=AD,∠DAF=30°+60°=90°,
在Rt△EFG和Rt△DFA中
EG=DA
∠EFG=∠DFA
∠EGF=∠DAF

∴△EFG≌△DFA,
∴EF=FD.
过E作EG丄AB于G,由△ABE为等边三角形得到BG=
1
2
AB,∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,AE=AB,Rt△ABC中根据30°所对的边等于斜边的一半得到BC=
1
2
AB,则AG=BC,然后根据直角三角形全等的判定方法得到Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),则EG=AC;再由△DAC为等边三角形,则AC=AD,∠DAC=60°,可得到EG=AD,∠DAF=30°+60°=90°,根据全等三角形的判定方法可证得△EFG≌△DFA,可有EF=FD.

全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质:有两组角分别相等,且其中一组角所对的边对应相等,那么这两个三角形全等;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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