讨论分段函数y(x)在x=0处的连续性和可导性
题目
讨论分段函数y(x)在x=0处的连续性和可导性
y(x)=x^2*sin(1/x) x>0
0 x=0
x^2*cos(1/x) x<0 在x=0处的连续性和可导性
连续性:左极限lim(x趋于0正)=x^2*sin(1/x)和右极限lim(x趋于0负)x^2*cos(1/x),这两个极限到底存不存在?
可导性:f'+(0)=lim(x趋于0正)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*sin(1/x)和f'-(0)=lim(x趋于0负)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*cos(1/x),这两个极限存不存在?
或者还是求完整地解答过程吧
答案
无穷小和有界函数相乘结果是无穷小
sin(1/x)和cos(1/x)均为有界函数
故lim(x→0)x^2*sin(1/x)=lim(x→0)x^2*cos(1/x)=lim(x→0)x*sin(1/x)=lim(x→0)x*cos(1/x)=0
故在x=0处连续、可导
PS:左为从数轴左边趋近,应趋近(0-),右为从数轴右边趋近,应趋近(0+).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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