求行列式的证明

题目

求行列式的证明
若行列式某一行元素都是两个元素之和,则D等于两个行列式之和.求证明

答案

这个需要从定义出发证明,但行列式的定义方式不同,一般这样定义:
D = ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...aiji...anjn
若行列式某一行元素都是两个元素之和,比如:aij = bj+cj (j=1,2,...,n)
把这个代入定义式中,
D = ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...(bj+cj)...anjn
= ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...bj...anjn + ∑ (-1)^t(j1j2...jn)a1j1 a2j2 ...cj...anjn
这样,行列式就分拆成了两个行列式之和.