已知关于x的一元二次方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根分别是tanα，tanβ．求tan（α+β）的取值范围．

题目

已知关于x的一元二次方程mx²+（2m-3）x+（m-2）=0的两根分别是tanα，tanβ．求tan（α+β）的取值范围．

答案

由题意，可得

m≠0 △＝(2m−3)2−4m(m−2)≥0

解得m≤

9

4

且m≠0．      　　
由韦达定理有tanα+tanβ＝−

2m−3

m

，tanαtanβ＝

m−2

m

∴tan(α+β)＝

tanα+tanβ

1−tanαtanβ

＝−m+

3

2

，
又m≤

9

4

且m≠0，从而求得tan（α+β）的取值范围是[−

3

4

，

3

2

)∪(

3

2

，+∞)．

利用韦达定理，有tanα+tanβ＝−

2m−3

m

，tanαtanβ＝

m−2

m

，根据两角和的正切公式，将tan（α+β） 展开，最后化成关于m的函数，求出范围，注意一元二次方程根存在的条件是△≥0．

本题考点：两角和与差的正切函数；二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查一元二次方程根存在的条件，两角和的正切公式的应用，函数思想及函数值域求解．是道好题．