抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

题目
抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.
答案
如图所示,依题意,设抛物线方程为y2=2px,则直线方程为y=-x+
1
2
p.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为C、D.
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1+
p
2
+x2+
p
2
,(4分)
即x1+
p
2
+x2+
p
2
=8.①
又A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
y=−x+
1
2
p
y2=2px
消去y,得x2-3px+
p2
4
=0,
∵△=9p2-4×
p2
4
=8p2>0.
∴x1+x2=3p.
将其代入①得p=2,
∴所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
故所求抛物线方程为y2=4x或y2=-4x.(8分)
依题意,设抛物线方程为y2=2px,可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+
1
2
p,利用抛物线的定义结合题意可求得p,从而可求得抛物线方程;同理可求抛物线方程为y2=-2px时的结果.

抛物线的标准方程.

本题考查抛物线的标准方程,突出抛物线定义得应用,考查方程组思想与化归思想的综合运用,考查分析与运算能力,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.