设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈R,都有a+b,a-b,ab,a/b∈P（除数b≠0）,则称P是一个数域,那么数集F={a+b根号2|a,b∈Q}为什么也是数域?

题目

设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈R,都有a+b,a-b,ab,a/b∈P（除数b≠0）,则称P是一个数域,那么数集F={a+b根号2|a,b∈Q}为什么也是数域?
我证不出.

答案

只要证F对“加、减、乘、除”封闭即可：
设x=a+b√2,y=c+d√2(a,b∈Q)则
x+y=(a+c)+(b+d)√2,((a+c)∈Q,(b+d)∈Q)
x-y=(a-c)+(b-d)√2,((a-c)∈Q,(b-d)∈Q)
xy=(ac+2bd)+(ad+bc)√2,((ac+2bd)∈Q,(ad+bc)∈Q)
x/y=(ac-2bd)/(c²-2d²)+[(bc-ad)/(c²-2d²)]√2,((ac-2bd)/(c²-2d²)∈Q,(bc-ad)/(c²-2d²)∈Q)
所以数集F={a+b根号2|a,b∈Q}也是数域