2013上海黄浦初三数学一模卷第24题
题目
2013上海黄浦初三数学一模卷第24题
已知二次函数y=ax^2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)与B(3,0) 交y轴于点C,其图像的顶点为D.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)试问三角形ABD与三角形BCO是否相似?并证明你的结论.
(3)若点P是此二次函数图像上的点,且角PAB=角ACB,试求点P的坐标.
答案
(1)将A、B坐标代入函数解析式,得
a+b+3=0
9a+3b+3=0
解得,a=1,b=-4
所以,二次函数的解析式为y=x²-4x+3
(2)因为,y=(x-2)²-1
所以,D点坐标为(2,-1)
Rt△BOC中,OB=3,OC=3,BC=3√2
所以,△BOC为等腰直角三角形
△ABD中,AD=√2,BD=√2,AB=2
因为,AD²+BD²=AB²,且AD=BD
所以,△ABD也为等腰直角三角形
所以,△ABD∽△BCO
(3)由(2)知,∠OBC=∠ABD=45°
所以,∠CBD=∠OBC+∠ABD=90°
延长CA和BD,交于点E
由A点坐标(1,0)和C点坐标(0,3)
可得,AC所在直线方程为y=-3x+3
由B点坐标(3,0)和D点坐标(2,-1)
可得,BD所在直线方程为y=x-3
联立两个直线方程,得到E点坐标为(3/2,-3/2)
Rt△CBE中,BC=3√2,BE=3√2/2
所以,tan∠ACB=tan∠ECB=BE/BC=1/2
设P点坐标为(x,y),过P做x轴的垂线,交x轴于点F
则,点F坐标为(x,0)
Rt△PFA中,PF=|y|,AF=x-1
所以,tan∠PAB=tan∠PAF=PF/AF=|y|/(x-1)
因为,∠PAB=∠ACB
即,tan∠PAB=tan∠ACB
所以,|y|/(x-1)=1/2,即,2|y|=x-1
又,点P是此二次函数图像上的点,y=x²-4x+3
所以,2|x²-4x+3|=x-1
化简得,2x²-9x+7=0或2x²-7x+5=0
即,(2x-7)(x-1)=0或(2x-5)(x-1)=0
因为,P点与A点不重合,x≠1
所以,解得x=7/2或x=5/2
对应的,y=5/4或y=-3/4
所以,点P的坐标为(7/2,5/4)或(5/2,-3/4)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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