y=√x与x=1,y=0,x=4围成的图形绕y轴旋转所得立体图形的体积

题目

y=√x与x=1,y=0,x=4围成的图形绕y轴旋转所得立体图形的体积
求详解,我就是不理解它的过程,所以希望能详细一点谢谢

答案

y=√x是抛物线y² = x在第一象限的部分,y = 0为x轴,x = 1为 过(1,0)且与x轴垂直的直线,x = 4为过(4,0)且与x轴垂直的直线,4者所围区域在第一象限
y=√x与x = 1交于A(1,1)
y=√x与x = 4交于B(4,2)
因为绕y轴旋转,用作为自变量较为方便,积分区间为[0,2]
0 ≤ y ≤ 1时,所围区域为以(1,0),(4,0),(4,1),(,1)为顶点的矩形,绕y轴旋转所得立体图形象一个壁很厚的圆柱形无底桶,外径为4,内径为1,高为1,体积为V1 = π(4² - 1²)*1 = 15π
1 ≤ y ≤ 2时,在y处立体图形的截面为圆环,外径为R = 4,内径为r = x = y²,此处厚度的体积为:
dV= π[R² - r²]dy
= π[4² - (y²)²]dy
= π(16 - y⁴)dy
此部分体积V2 = ∫₁²π(16 - y⁴)dy
= π(16y - y⁵/5)|₁²
= 49π/5
V = V1 + V2 = 124π/5
图容后补.