已知x∈[-π3，π4]，f（x）=tan2x+2tanx+2，求f（x）的最大值和最小值，并求出相应的x值．

题目

已知x∈[-

π

3

，

π

4

]，f（x）=tan²x+2tanx+2，求f（x）的最大值和最小值，并求出相应的x值．

答案

f（x）=tan²x+2tan x+2=（tan x+1）²+1．   …2
∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，∴tan x∈[-

3

，1]．         …6
∴当tan x=-1，即x=-

π

4

时，y有最小值，y_min=1； …9
当tan x=1，即x=

π

4

时，y有最大值，y_max=5．     …12

由于f（x）=（tan x+1）²+1，根据x∈[-

π

3

，

π

4

]，可得tan x∈[-

3

，1]，再利用二次函数的性质求得函数
的最值．

本题考点：复合三角函数的单调性．

考点点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．