四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形,求证:AB//平面EFGH

题目

四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形,求证:AB//平面EFGH

答案

没图么?那我自己画咯
假设空间四边形是以O为顶点吧,这样方便点.
那么同样假设E在AB上,F在OB上,G在OC上,H在AC上
在三角形OBC中,过B做一条直线平行于FG,交OC（或OC的延长线）于P
又在三角形ABC中,过B作一条直线平行于EH,交AC（或AC的延长线）于Q
因为截面EFGH为平行四边形,所以FG//EH
而BP//FG,BQ//EH,得出BP//BQ
因为两条平行线都过点B,所以BP,BQ必然重合,
又有BP,BQ分别在平面OBC和平面ABC中
所以BP,BQ必然是平面OBC与平面ABC的相交线,也即直线BC
得出直线BC,BP,BQ三者重合.
于是BC//FG
得出BC//于平面EFGH