若曲线上C：y=x③-2ax②+2ax任意点处的切线的倾斜角都为锐角,且a为整数,｛1｝求曲线c的解析式,｛2｝求过点｛1.1｝的曲线的切线方程

题目

若曲线上C：y=x③-2ax②+2ax任意点处的切线的倾斜角都为锐角,且a为整数,｛1｝求曲线c的解析式,｛2｝求过点｛1.1｝的曲线的切线方程

答案

对y求导,y′=3x²-4ax+2a
倾斜角都是锐角,所以斜率大于零对任意实数成立.
即3x²-4ax+2a＞0对任意x都成立
开口向上,所以△＜0
△=b²-4ac=2a²-3a＜0
解得0＜a＜3/2
又a为整数,则有a=1
f(x)=x^3-2x^2+2x.
f'(x)=3x^2-4x+2
f(1)=1-2+2=1,则点（1,1）在此曲线上.
那么切线斜率K=f'(1)=3*1^2-4+2=1
故切线方程是y-1=1*(x-1)
即是：y=x.