函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（　　） A.{x|x＞0} B.{x|x＜0} C.{x|x＜-1，或x＞1}

题目

函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集为（　　）
A. {x|x＞0}
B. {x|x＜0}
C. {x|x＜-1，或x＞1}
D. {x|x＜-1，或0＜x＜1}

答案

令g（x）=e^x•f（x）-e^x，
则g′（x）=e^x•[f（x）+f′（x）-1]
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0恒成立
即g（x）=e^x•f（x）-e^x在R上为增函数
又∵f（0）=2，∴g（0）=1
故g（x）=e^x•f（x）-e^x＞1的解集为{x|x＞0}
即不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集为{x|x＞0}
故选A