证明 若 A ,B 为对称矩阵,则 AB - BA为反对称矩阵.

题目

证明 若 A ,B 为对称矩阵,则 AB - BA为反对称矩阵.

答案

证明：若AB为反对称矩阵,则（AB）T=-AB=（-1）AB,
已知A为n阶对称矩阵,则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B,
而根据转置矩阵的重要性质（AB）T=BTAT=-BA=（-1）BA,（T均为上标）,
（-1）AB=（-1）BA,
∴AB=BA,
反过来,若AB=BA,则根据转置矩阵的重要性质,（AB）T=BTAT,（T为上标）
已知A为n阶对称矩阵,则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B,代入上式,
（AB）T=-BA=-AB,
∴AB是反对称矩阵,
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