如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　） A.2 B.4 C.22 D.42

题目

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　）
A. 2
B. 4
C. 2

2

D. 4

2

答案

作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′²=AD′²，即2P′D′²=16，
∴P′D′=2

2

，即DQ+PQ的最小值为2

2

．
故选C．

过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．

本题考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

考点点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．