1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2013求答案求过程

题目

1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2013求答案求过程

答案

设 S=x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2013,则
(1+x)S=x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2013+x(1+x)^2014
相减得
(1+x)S-S=x(1+x)^2014 -x
xS=x(1+x)^2014 -x
S=(1+x)^2014 -1
于是
1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2013
=1+S
=1+(1+x)^2014 -1
=(1+x)^2014