如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD． （1）求证：∠DBC=∠E； （2）若BD=4，BE=43，求△BDE的面积．

题目

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．

（1）求证：∠DBC=∠E；
（2）若BD=4，BE=4

3

，求△BDE的面积．

答案

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=30°，
∵∠DCE为∠ACB外角，
∴∠DCE=120°，
∵CE=CD，
∴∠DCE=∠CDE=30°，
∴∠DBC=∠DCE；
（2）如图，过点D作DF⊥BE于F，
∵BD=4，∠DBC=30°，
∴DF=2，
∵BE=4

3

，
∴S△BDE=

1

2

BE•DF=

1

2

×4

3

×2=4

3

．

（1）根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB=60°，然后求出∠DBC=30°，再根据等角对等边的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠E=30°，从而得证；
（2）过点D作DF⊥BE于F，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长度，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

本题考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．