a为何值时,曲线y=ax2与曲线y=lnx相切,并求曲线在该切点处的切线方程和法线方程

题目

a为何值时,曲线y=ax2与曲线y=lnx相切,并求曲线在该切点处的切线方程和法线方程

答案

y=ax^2, y'=2ax
y=lnx, y'=1/x
在切点处,切线相同：2ax=1/x, 得：x=1/√(2a)
在切点处,函数值相同：a*1/(2a)=-1/2*ln(2a), 即ln(2a)=-1, 得：a=1/(2e)
故切点为(√e, 1/2), 切线斜率为1/√e
切线为：y=1/√e (x-√e)+1/2=x/√e-1/2
法线为：y=-√e(x-√e)+1/2=-√ex+e+1/2