已知函数f(x)=x^2+px+q,且集合A={xlx=f(x)},B={xlf[f(x)]=x}

题目

已知函数f(x)=x^2+px+q,且集合A={xlx=f(x)},B={xlf[f(x)]=x}
(1)求证 A是B的子集
(2)如果A={-1,3},求B
详解.

答案

(1)设m为集合A中任意一个元素,则

m=f(m) 又
f[f(x)]=x 只需证明f[f(m)]=m 就可以说明m也是集合B的一个元素,即集合A为集合B的子集.
m=f(m) (1)
将（1）代入（1）式右边可得：
m=f(f(m)),即 f[f(m)]=m 所以m是集合B的一个元素
又因为m为集合A中任意一个元素,所以集合A为集合B的子集.
(2)A={-1,3} 所以
-1=1-p+q 3=9+3p+q
所以：p=-1 q=-3
所以：f(x)=x^2-x-3
f[f(x)]=（x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x
x^4-2x^3-6x^2+6x+9=0
(x^4-2x^3-3^2)-3(x^2-2x-3)=0
(x^2-2x-3)(x^2-3)=0
(x-3)(x+1)(x^2-3)=0
x1=3 x2=-1 x3=-√3 x4=√3
所以 B={3,-1,√3,-√3}