已知函数f(x)={-x^3+x^2,x=1.

题目

已知函数f(x)={-x^3+x^2,x=1.
已知函数f(x)={-x^3+x^2,x=1
对任意给定的正实数a,曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此 三角形斜边中点在y轴 说明理由．

答案

设Q在y=alnx (x≥1)的那段曲线上
则令Q(r,alnr),向量OQ=(r,alnr) （r>1)
若直角三角形POQ斜边中点在y轴上
则P(-r,r³+r²),向量OP=(-r,r³-r²)
∵O为直角顶点
∴向量OP·向量OQ=0
∴-r²+alnr *(r³-r²)=0
∴1+a(1-r)lnr=0
lnr=1/[a(r-1)] (#)
只要(#)有解即可
g(r)=lnr是(1,+∞)上的正函数,值域为(0,+∞)
h(r)是(1,+∞)的减函数,值域为(0,+∞)
∴g(r),与h(r)图像有且只有唯一的交点
∴无论a取任何正值,（#）总有解
即曲线上存在两点P、Q,使得△POQ是
以O为直角顶点的直角三角形,且此 三
角形斜边中点在y轴 上