在正三角形ABC内任取一点P,过P分别作ABC三边的垂线,垂足为D,E,F 证PD+PE+PF=常数

题目

在正三角形ABC内任取一点P,过P分别作ABC三边的垂线,垂足为D,E,F 证PD+PE+PF=常数

答案

设正方形边长为a,高为h=√3a/2,
连AP,BP,CP,
△ABP面积=(1/2)AB*PD,
△BCP面积=(1/2)BC*PE,
△ACP面积=(1/2)AC*PF,
△ABP面积+△BCP面积+△ACP面积=△ABC面积,即
(1/2)AB*PD+(1/2)BC*PE+(1/2)AC*PF=(1/2)AB*h,
AB(PD+PE+PF)=AB*h,
PD+PE+PF=h=√3a/2,