如图,圆O的两条弦BA,CE的延长线交于圆外一点D,连接DO交圆于点F,且弧EF=弧FA,求证：EC=AB.

题目

如图,圆O的两条弦BA,CE的延长线交于圆外一点D,连接DO交圆于点F,且弧EF=弧FA,求证：EC=AB.

答案

证明：连接OA、OE,作OP⊥AB于P,OQ⊥CE于Q
弧EF=弧AF,所以∠AOF=∠EOF
在△AOD和△EOD中
∠AOF=∠EOF
AO=EO
OD=OD
所以△AOD≌△EOD.∠ADO=∠EDO
OP⊥AB,∠OPD=90
OQ⊥CE,∠OQD=90
在RT△OPD和RT△OQD中,
∠ADO=∠EDO
∠OPD=∠OQD=90
OD=OD
所以RT△OPD≌RT△OQD（HL）.OP=OQ
在同圆中,圆心O到两弦AB、CE的弦心距相等
因此AB=CE