已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B⊥CB1,则A1B与AC1

题目

已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B⊥CB1,则A1B与AC1
可我证不出来

答案

我们把两个相同的正三棱柱合在一起,组成一个平行六面体ABDC-A1B1D1C1.
则上下两个底面为菱形.连结C1D,则A1B‖C1D,所以,∠AC1D即为异面直线A1B与AC1所成的角.
连结两底面的对角线A1D1,B1C1及AD,BC,两对角线互相垂直,交点分别为O1,O.
连结BO1,C1O,∵A1D1⊥B1C1,A1D1⊥BB1,B1C1∩BB1=B1,∴A1D1⊥面C1B1BC,∴A1D1⊥CB1.
又A1B⊥CB1,∴CB1⊥面BA1D1.而面BA1D1∩面CB1BC=BO1,∴CB1⊥BO1.
同理,CB1⊥C1O.
我们看面C1B1BC.
∵CB1⊥C1O,CB1⊥BO1,∴Rt△OCC1∽Rt△CC1B.OC/CC1=CC1/C1B1.
设正三棱柱的底面边长为a,高为h.则有：（a/2）/h=h/a,h=(√2a)/2.
所以,AC1^2=C1D^2=a^2+h^2=(3a^2)/2.又AD=2AO=2*(√3/2*a)=√3a.AD^2=3a^2.
∵AC1^2+C1D^2=2*(3a^2)/2=3a^2=AD^2,∴△AC1D是直角等腰三角形,∠AC1D=90°.