直线Y=kx+b交抛物线Y=1/2x^2于A,B两点,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,求b的值

题目

直线Y=kx+b交抛物线Y=1/2x^2于A,B两点,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,求b的值

答案

若存在固定的b值,则令k=0,找平行于x轴的直线与抛物线相交即可.
从而有：y=b=1/2x^2
因OA⊥OB,而AB平行于x轴,所以OA的倾角为45度或135度,从而有y=x=1/2x^2,即x=2或-2,
所以
若存在固定的b值,则b=y=2 .
讨论对任意k,有y=kx+2使符合题意.y=kx+2=1/2x^2
A（k+根号下4+k方,2+k*（k+根号下4+k方））
B（k-根号下4+k方,2+k*（k-根号下4+k方））
考察OA与OB的斜率之积,化简后=-1,从而证明：
当b=2时,对于任意K,有y=kx+2使符合题意