P是正△ABC所在平面外的一点,已知PA=PB=PC证明点P的射影在△ABC的重心上

题目

P是正△ABC所在平面外的一点,已知PA=PB=PC证明点P的射影在△ABC的重心上

答案

过P作面ABC的垂线,垂足为O,连接OA,OB,OC,OP
则OA=sqrt(PA^2-PO^2)
OB=sqrt(PB^2-PO^2)
OC=sqrt(PC^2-PO^2)
∵PA=PB=PC
∴OA=OB=OC
即点O是△ABC的外心,
又△ABC是正三角形,故外心即中心,也即重心
故结论成立.