计算三重积分∫∫∫zdxdydz,其中Ω由z=x^2+y^2与z=4围成的闭区域.

题目

计算三重积分∫∫∫zdxdydz,其中Ω由z=x^2+y^2与z=4围成的闭区域.
2π)dθ∫(0~2)ρdρ∫(ρ^2~4)zdz
为什么对z的积分的下限是ρ^2啊?

答案

因为,曲面z=x^2+y^2在柱坐标下的方程为z=ρ^2
这题如果是计算积分值的话,正解如下：
因为z=常数的平面与Ω截得区域的面积为πz
所以∫∫∫zdxdydz＝∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3