如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF. (1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?
题目
如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF.
(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?
答案
(1)四边形ADEF为平行四边形,
证明:∵△ABD和△EBC都是等边三角形,
∴BD=AB,BE=BC;
∵∠DBA=∠EBC=60°,
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC;
∵在△BDE和△BAC中
,
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC=AF
同理可证:△ECF≌△BCA,
∴EF=AB=AD
∴ADEF为平行四边形;
(2)AB=AC时,▱ADEF为菱形,当∠BAC=150°时▱ADEF为矩形.
理由是:∵AB=AC,
∴AD=AF.
∴▱ADEF是菱形.
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC,
∴∠BAC=150°,
∵∠DAB=∠FAC=60°,
∴∠DAF=90°,
∴平行四边形ADEF是矩形.
(1)由题意易得△BDE≌△BAC,∴DE=AC=AF,同理可证,EF=AB=AD,∴ADEF为平行四边形;
(2)AB=AC时,可得ADEF的邻边相等,所以ADEF为菱形,AEDF要是矩形,则∠DEF=90°,由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF,可推出∠BAC=150°时为矩形.
平行四边形的判定;等边三角形的性质;菱形的判定;矩形的判定.
此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定.
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