已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3+1

题目

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3+1
若函数f（x）在区间[-2,0]上单调递增,求实数b的取值范围

答案

求导
f'(x)=-3x^2+2ax+b
点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1
故-3=-3+2a+b
-2=-1+a+b+c
得a=-b/2
c=-1-b/2
f'(x)=-3x^2+2ax+b=-3x^2-bx+b>=0在区间[-2,0]上恒成立
从二次函数考虑
f'(x)=-3x^2-bx+b是开口向下的抛物线
故要使f'(x)>=0恒成立只要端点处成立
f'(0)=b>=0
f'(-2)=-12+3b>=0
b>=4
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