(cosx/cos2x)^(1/x^2) 极限

题目

(cosx/cos2x)^(1/x^2) 极限

答案

设y=(cosx/cos2x)^(1/x^2)
lny =1/x^2*ln(cosx/cos2x)
=[ln(cos x)-ln(cos 2x)]/x^2
当x->0时,ln(cosx)=ln(cos 2x)->ln(cos 0)=ln1=0,
x^2->0^2=0
0除0是不定型,必须借助洛必达法则
对于分子分母分别求导
[ln(cos x)]'=1/cosx *(-sinx),-sinx是cosx的导数,运用链式法则
=-tan x
[ln(cos 2x)]'=1/cos2x *(-sin2x)*2=-2tan 2x
分母 (x^2)'=2x
一看 [-tanx +2 tan 2x]/2x,当->0时依旧是-tanx +2 tan 2x->-tan0+2tan0=tan0=0,2x->2*0=0
0除0,洛必达第二次
(-tan x)'=-sec^2 x,(2tan2x)'=2*sec^2 2x*2=4sec^2 2x
(2x)'=2
变成(-sec^2 x+4 sec^2 2x)/2
将x=0带入,sec 0=1所以极限等于(-1^2+4*1^2)/2=3/2