K重特征值对应的线性无关的特征向量小于等于K?可以给证明吗

题目

K重特征值对应的线性无关的特征向量小于等于K?可以给证明吗

答案

设该矩阵为A,比如t为特征值,
K重特征值的定义是什么,就是该矩阵的特征多项式含有根t的重数为K.
设t为K重特征值,设t对应的线性无关的特征向量个数为m,那么以这m个向量延拓成为线性空间的一组基,那么可以得到在该组基下的特征多项式为(x-t)^mg(x）,g(x)为一个多项式,从而A关于特征值t的重数>=m,即K>=m.
记住关键是特征多项式在相似的意义下保持不变,且注意任意线性无关的向量,可以延拓成一组基.