求证：√3是无理数

题目

求证：√3是无理数
先证明原命题的加强命题,即可以先证明√n（n≠m^2,m、n是正整数）是无理数.
采用反证法,假设√n是有理数,则设√n=p/q（p、q互质且p、q都为正整数）.
由√n=p/q,
得n=p^2/q^2,
即p^2=nq^2.
又nq^2≡0（mod n）,
故p^2≡0（mod n）,
所以p≡0（mod n）.
从而p^2≡0（mod n^2）,
所以nq^2≡0（mod n^2）,
即q^2≡0（mod n）,
从而q≡0（mod n）.
由此得到p、q均为n的倍数,与p、q互质矛盾,假设不成立.
所以√n不是有理数.
又√n是实数,
所以√n是无理数.
令n=3,原命题获证.

答案

先证明原命题的加强命题,即可以先证明√n（n≠m^2,m、n是正整数）是无理数.
采用反证法,假设√n是有理数,则设√n=p/q（p、q互质且p、q都为正整数）.
由√n=p/q,
得n=p^2/q^2,
即p^2=nq^2.
又nq^2≡0（mod n）,
故p^2≡0（mod n）,
所以p≡0（mod n）.
从而p^2≡0（mod n^2）,
所以nq^2≡0（mod n^2）,
即q^2≡0（mod n）,
从而q≡0（mod n）.
由此得到p、q均为n的倍数,与p、q互质矛盾,假设不成立.
所以√n不是有理数.
又√n是实数,
所以√n是无理数.
令n=3,原命题获证.