如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．

题目

如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．

答案

在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：
BQ=

x

2

，PQ=

3

2

，从而有PC=CR=a-x，
∴△BPQ与△CPR的面积之和为：
S=

3

8

x²+

3

4

（a-x）²=

3 3

8

（x-

2

3

a）²+

3

12

a²，
∵0≤x≤a，
∴当x=0时，S取最大值

3

4

a²，
当x=

2

3

a时，S取最小值

3

12

a²．

首先设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=

x

2

，PQ=

3

2

，从而有PC=CR=a-x，进而表示出S=

3

8

x²+

3

4

（a-x）²，进而利用二次函数最值求法得出即可．

本题考点：二次函数的最值．

考点点评：此题主要考查了二次函数最值求法和三角形面积求法，表示出S与x的函数关系是解题关键．