已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列{bn}满足4b1-14b2

题目

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足4

答案

（Ⅰ）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2(n∈N*)．
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列
得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2++2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（Ⅲ）证明：∵4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn，
∴4b1+b2+…+bn-n=2nbn
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0．③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差数列．