求此定积分：∫ _0^2f(x)dx,其中f(x)=x+1,x≤1;f(x)=0.5x^2,x>1;

题目

求此定积分：∫ _0^2f(x)dx,其中f(x)=x+1,x≤1;f(x)=0.5x^2,x>1;
f(x)为分段函数,我想知道在∫ _1^2（0.5x^2）dx中,当用牛顿-莱布尼茨公式后,x=1不在0.5x^2的定义域范围内,此处该如何处理?为什么?

答案

你可以这样做,设它的积分下限是1+ε,然后ε->0,利用牛顿-莱布尼茨公式求出以1+ε为下限的积分后会得到一个含有ε的式子,然后再求一个极限,当ε->0时候的极限,这样就可以了.
∫(1/2)x^2dx
=(1/6)x^3 代入范围[1+ε,2]
=(1/6)[8-(1+ε)^3] 当ε->0时
=(1/6)(8-1^3)
=7/6
至于你最后说得那个为什么,我想你看过程就能明白吧,用一个无穷小量来做的,这样不用解释也很明白了.