求函数的值域y=sin²x+cosx+1,x∈[-π/3,π/3]

题目

求函数的值域y=sin²x+cosx+1,x∈[-π/3,π/3]

答案

y=1-cos²x+cosx+1
=-cos²x+cosx+2
令cosx=t,则t∈[1/2,1]
所以,y=-t²+t+2,t∈[1/2,1]
开口向下的二次函数,对称轴为t=1/2
所以,t=1/2时,y有最大值9/4；
t=1时,y有最小值2
所以,值域为[2,9/4]