反常积分∫ 0到正无穷大dx/(1+x+x^2)的敛散性

题目

反常积分∫ 0到正无穷大dx/(1+x+x^2)的敛散性

答案

答：∫dx/(1+x+x^2)=∫ dx/[(x+1/2)^2+3/4]=4/3∫dx/[(2x+1)/√3)^2+1]=2/√3∫d[(2x+1)/√3]/[(2x+1)/√3)^2+1]=2/√3arctan[(2x+1)/√3]所以反常积分∫(0到+∞)dx/(1+x+x^2)=limβ→+∞ 2/√3arctan[(2β+1)/√3] ...