如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，那么使得f（x-1）＜0的x的取值范围是（　　） A.x＜0 B.1＜x＜2 C.x＜0或1＜x＜2 D.x＜2且x≠0

题目

如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，那么使得f（x-1）＜0的x的取值范围是（　　）
A. x＜0
B. 1＜x＜2
C. x＜0或1＜x＜2
D. x＜2且x≠0

答案

∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，
∴x＜0，-x＞0，f（-x）=-x-1，
又∵y=f（x）（x≠0）为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x+1；
∴f（x）=

x−1(x＞0) x+1(x＜0)

．
当x-1＜0，x＜1时，f（x-1）=（x-1）+1＜0，即 x＜0；
当x-1＞0，x＞1时，f（x-1）=（x-1）-1＜0，即 x＜2，
∴1＜x＜2 
综上所述：使得f（x-1）＜0的x的取值范围是x＜0或1＜x＜2．
故选C．

根据条件可求得x＜0，f（x）=x+1，再对x-1分大于0与小于0讨论解得x的取值范围．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性的性质及应用，突出转化与分类讨论思想的考查，属于中档题．