什么是"对偶定理”?

题目

什么是"对偶定理”?

答案

在平面几何中,点和线称为对偶元素.过一点画一条直线和在一条直线上标出一个点叫作对偶运算.两个图形,如果一个可以从另一个把其中的元素和运算替换为对偶的元素和运算而达到,就称为对偶的.两个定理,如果一个定理中的所有元素和运算替换为对偶的就成为另一个定理时,叫做对偶的.如果其中一个定理真实,则另一个必然真实.关于上述这一事实,是彭色列在建立射影几何学理论时首先发现的.事实上,射影几何中所有的定理都是成对出现的.于是我们在射影几何内有如下对偶原理：
射影几何中的任一个成立的定理的对偶,同样是射影几何中的一个真实的定理.
是什么保证了这个对偶原理的正确性呢?这要追溯到几何基础的公理系统中去.在希尔伯特几何公理系统中的点、线、面、位于、通过等名词都是一些抽象的元素和关系,可以允许给予不同的具体解释.其演绎系统的性质,完全由公理系统中成立的关系给出.我们可以把射影几何也建立在这样的抽象元素和关系的公理系统上去.我们给出无定义的点、线和关联,以及象下面这样的对偶公理：“每两个不同的点关联着唯一的一条直线”和“每两条不同的直线关联着唯一的一点”等等.这样一来,任何一个定理,如果在它的叙述和证明中,只包含与对偶公理有关的元素,那么其中一定准许对偶化.因为原定理的证明在于某些公理的连续应用,而按同样顺序应用其对偶原理,这样就得到了关于对偶定理的证明.正由于公理的对偶性,才保证了对偶原理的正确性.
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对偶是一种广义对称.对称是数学美的重要特征之一.因此,对偶原理从方法论的角度来讲,便是数学的美学方法的一个具体体现,而且这一美学方法又与真紧密联系在一起,因此,它的作用也就显得更加重要了.