一道关于圆锥曲线的高三题目

题目

一道关于圆锥曲线的高三题目
过定点圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若定向OP=1/2（定向OA+定向OB）,则证明动点P的轨迹为圆.
过定点圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若向量OP=1/2（向量OA+向量OB），则证明动点P的轨迹为圆。

答案

证明：不妨设圆C的分程为x^2+y^2=r^2.点A(r,0),B(rcost,rsint),P(x,y).则由OP=(1/2)(OA+OB).===>2(x,y)=(r,0)+(rcost,rsint)=(r+rcost,rsint)===>2x=r+rcost,2y=rsint.消去参数t,得动点P的轨迹方程：[x-(r/2)]^2+y^2=(r/2)^2.故动点P的轨迹为圆,圆心为(r/2,0),半径为r/2.