已知双曲线3x2-y2=3，过点P（2，1）作直线l交双曲线于A，B两点． （1）求弦AB中点M的轨迹． （2）若P恰为AB中点，求l的方程．

题目

已知双曲线3x²-y²=3，过点P（2，1）作直线l交双曲线于A，B两点．
（1）求弦AB中点M的轨迹．
（2）若P恰为AB中点，求l的方程．

答案

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
两式相减得3x（x₁-x₂）-y（y₁-y₂）=0，
∴

3x

y

＝

y−1

x−2

，即3x²-y²-6x+y=0，斜率不存在时也满足，轨迹为双曲线；
（2）由（1）知3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
两式相减得6（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，从而直线的斜率为6，
故所求直线方程为6x-y-11=0