一直,矩形ABCD和其外部一点P,试说明PA的平方加PC的平方等于PB的平方加PD的平方

题目

一直,矩形ABCD和其外部一点P,试说明PA的平方加PC的平方等于PB的平方加PD的平方

答案

证明：过点P作MN‖AD交BA,CD延长线于点M,N
则四边形ADNM,四边形ABCD,四边形MBCN是矩形
∴△MAP △MBP △PND △PCN是直角三角形
∴MA=ND BM=NC
∴PA的平方=MA的平方+MP的平方⑴
PC的平方=PN的平方+NC的平方⑵
PB的平方=PM的平方+BM的平方⑶
PD的平方=PN的平方+ND的平方⑷
⑴+⑵
PA的平方+PC的平方=MA的平方+MP的平方+PN的平方+NC的平方
⑴ + ⑵
PB的平方+PD的平方==PM的平方+BM的平方+PN的平方+ND的平方
∴PA的平方加PC的平方等于PB的平方加PD的平方