类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

题目

类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

答案

线的关系类比到面的关系，猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：
直角空间四面体ABCD中，如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S_△BCD² =

1

4

CD2•BE² =

1

4

CD2（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²