均值不等式的题目

题目

均值不等式的题目
a,b,c,d是非负实数满足ab+ac+ad+cd=1求证a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c）≥1/3

答案

设M=a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)+d^3/(a+b+c）
则,根据柯西不等式有：
M[a(b+c+d)+b(a+c+d)+c(a+b+d)+d(a+b+c)]≥[a^2+b^2+c^2+d^2]^2
根据均值不等式,叠加整理可以得到
a(b+c+d)+b(a+c+d)+c(a+b+d)+d(a+b+c)《3(a^2+b^2+c^2+d^2)
于是M》(a^2+b^2+c^2+d^2)/3
又根据排序不等式
(a^2+b^2+c^2+d^2)/3》(ab+bc+cd+da)/3=1/3
证毕