已知f(x)= lnt/(1+t)dt证明f(x)+f(1/x)=1/2*ln2 x

题目

已知f(x)= lnt/(1+t)dt证明f(x)+f(1/x)=1/2*ln2 x
求详细过程
已知f（x）= ∫（下面是1上面是x） lnt/(1+t)dt证明f（x）+f（1/x）=1/2*ln2 x 求详细过程 ln2 x代表lnx的平方

答案

f(x)= ∫（下面是1上面是x） lnt/(1+t)dt
f(1/x)= ∫（下面是1上面是1/x） lnt/(1+t)dt
求导 [f(x) + f(1/x)] ' = lnx/(1+x) + (1/x)' ln(1/x)/(1+1/x)
= lnx/(1+x) -1/x^2 * ln(1/x)/(1+1/x)
= lnx/(1+x) + lnx/[x(x+1)]
=ln(x) /(1+x)*(1+1/x)
=ln(x)/x
f(x) + f(1/x)] = ∫（下面是1上面是x) [ ln(x)/x]dx
= ∫（下面是1上面是x) ln(x)d(lnx)
= 1/2*(lnx)^2