在平行四边形ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90度得到线段EF

题目

在平行四边形ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90度得到线段EF

答案

在▱ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段EF．如图所示．
（1）在图中画图探究：
①当p1为线段CD延长线上任意一点时,连接．EP1,将线段EP1绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段EG1判断直线FG1与直线CD的位置关系,并说明理由；（在图1中画）
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连接EP2,将线EP2绕点E按逆时针方向旋转90°得到线段EG2．判断直线FG2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论．（在图2中画）
（2）在①的条件下,连接FP1、P1G1,若EP1=8,AD=6,AE=1,AB：CE=3：4,求△P1G1F的面积．
（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．
证明：如图1,设直线FG1与直线CD的交点为H．
∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1,
∴∠P1EG1=∠CEF=90°,EG1=EP1,EF=EC．
∵∠G1EF=90°-∠P1EF,∠P1EC=90°-∠P1EF,
∴∠G1EF=∠P1EC．
∴△G1EF≌△P1EC．
∴∠G1FE=∠P1CE．
∵EC⊥CD,
∴∠P1CE=90°,
∴∠G1FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG1⊥CD．
②按题目要求所画图形见图1,直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵AD=6,AE=1,AB：CE=3：4,
∴DE=5,CD：CE=3：4
可得CE=4
由（1）可得四边形FECH是正方形
∴CH=CE=4
∵（1）①如图2,P1在线段CH的延长线上,
∵FG1=CP1
∴S△P1FG1=×FG1•P1H
在Rt△ECP1中,EP1=8,由勾股定理得
CP1=FG1=4
∴P1H=4-4
∴S△P1FG1=×=24-8．