求证明：若A可逆,则(A^-1)的行列式等于A的行列式求逆.

题目

求证明：若A可逆,则(A^-1)的行列式等于A的行列式求逆.

答案

若A可逆,设A的逆矩阵为A^(-1)
则 根据逆矩阵定义有：AA^(-1)=A^(-1)A=E
∵|AB|=|A||B| ∴ |A||A^(-1)|=|A^(-1)||A|=|E|=1
从而 |A^(-1)|=1/|A|=|A|^(-1)