自变量随函数变化

题目

自变量随函数变化
质点A固定,质点B仅在引力的作用下向A前进（起始速度为0）,求速度与时间的函数?
第一个时间,距离带来加速度,速度带来新的距离,新的距离又带来新的加速度,

答案

建以为坐标系 A为原点 质量为M,B的位置为x 质量为m
受力：F=ma=m(dv/dt)=GMm/（x^2）
又有v=dx/dt
设初始AB距离为x0
因为dv/dt=GM/（x^2）(*)
dv/dt=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx=GM/（x^2）
两边积分 (v^2)/2=-GM/x+GM/x0
得1/x=1/x0-(v^2)/2GM 代入（*）式中
有 dv/dt=GM*[1/x0-(v^2)/2GM]^2
解微分方程可得
t=v^5/(20G^3*M^3)+v^3/(3G^2*M^2*x0)+v/(GM*x0^2)