n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．

题目

n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．

答案

证明：设3n+1=m²，则m=3k+1或m=3k+2（k是正整数）．
若m=3k+1，则n＝

m2−1

3

＝3k2+2k．
∴n+1=3k²+2k+1=k²+k²+（k+1）²．
若m=3k+2，则n＝

m2−1

3

＝3k2+4k+1
∴n+1=3k²+4k+2=k²+（k+1）²+（k+1）²．
故n+1是3个完全平方数之和．