按ζ-N定义证明 n/(a的n次方) 的极限等于0

题目

按ζ-N定义证明 n/(a的n次方) 的极限等于0
按ζ-N定义证明 n/(a的n次方) 的极限等于0
注:(ζ-N定义)设{an}为数列,a为定数,若对任给的正数ζ,总存在正数N,使得当n>N时有 ｜an-a｜

答案

你这个题目应该要求|a|>1哦!那个不是有n次方么?那很自然就想到二项式展开啦!我做了下,下面用a^n表示a的n次方,a^表示a的平方,C(m,n)表示从n个对象中选m个的组合数.对于n>1,有：|n/a^n|＝n/|a|^n＝n/[1+(|a|-1)]^n＜n/[C(2,n)*(|a|-1)^]＝2/[(n-1)(|a|-1)^].要使2/[(n-1)(|a|-1)^]＜ζ,只要n＞1+2/ζ(|a|-1)^就可以了.那我们就任选一个比1+2/ζ(|a|-1)^大的自然数作为N（这总是可以办到的）,则当n＞N时,就有|n/a^n|＜2/[(n-1)(|a|-1)^]＜ζ.这不就证得了么?