已知函数f(x)=x2+blnx和g(x)=x-9/x-3的图象在x=4处的切线互相平行.(Ⅰ)求b的值; (Ⅱ)求f(x)的极值.
题目
已知函数f(x)=x
2+blnx和g(x)=
的图象在x=4处的切线互相平行.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求f(x)的极值.
答案
(Ⅰ)g'(x)=
∴g'(4)=6
∵函数f(x)=x
2+blnx和g(x)=
的图象在x=4处的切线互相平行
∴f'(4)=6
而f'(x)=2x+
,则f'(4)=8+
=6
∴b=-8…(5分)
(Ⅱ)显然f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去)
∴当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0
∴f(x)在(0,2)上是单调递减函数,在(2,+∞)上是单调递增函数
∴f(x)在x=2时取得极小值且极小值为f(2)=4-8ln2.
(Ⅰ)根据导数的几何意义分别求出函数f(x)与g(x)在x=4处的导数,根据函数f(x)和g(x)的图象在x=4处的切线互相平行,建立等量关系,求出b即可;
(Ⅱ)求导数,确定函数的单调性,即可求f(x)的极值.
A:利用导数研究函数的极值 B:利用导数研究曲线上某点切线方程
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两条直线平行的判定等基础题知识,考查运算求解能力、推理论证能力,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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